Peran Tokoh-tokoh Matematika dalam Perkembangan Matematika Model

Peran Tokoh-tokoh Matematika dalam

Perkembangan Matematika Model

A.                Konsep Matematika Model

Hestenes (1987) mengartikan model sebagai representasi  konseptual  dari hal yang nyata. Sedangkan, Zarlis (2008) menyatakan model adalah representasi dari  suatu  objek,  benda  atau  ide-ide dalam   bentuk   lain   dari   entitasnya. Abrams (2001) menyatakan bahwa suatu model matematika merepresentasikan suatu situasi  secara  simbolik,  secara  grafik, dan    atau    secara    numerik    untuk menguatkan  suatu  aspek  yang  pokok dan untuk dipelajari dengan mengenyampingkan hal-hal yang kurang   penting. Dengan   demikian, model matematika tersebut merupakan terjemahan ide atau gagasan matematika  dari  suatu  masalah  nyata yang   diungkapkan   melalui   lambang atau simbol matematika dalam pemecahan masalah. Berdasarkan pendapat beberapa ahli, dapat disimpulkan bahwa model matematika adalah representasi suatu fakta/fenomena/masalah dalam bentuk yang lebih sederhana, atau yang mewakili karakteristik umum dari sekelompok bentuk yang ada.

Model matematika merupakan representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata  ke  dalam pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007: 1). Pemodelan matematika adalah  usaha menggunakan matematika untuk menggali dan menelaah topik-topik di luar  matematika (Ledder, 2005, p31). Menurut Lovitt  (1991) pemodelan matematika ditandai oleh dua ciri utama, yaitu (1) pemodelan bermula dan berakhir dengan dunia nyata, (2) pemodelan membentuk suatu siklus.

Gambar 1. Pemodelan Matematika oleh Lovvit

Gambar 2. Alur penggunaan Pemodelan Matematika

Masalah konkret yaitu masalah yang ada di dunia nyata. Masalah konkret dapat direpresentasikan ke dalam model matematika melalui abstraksi dan idealisasi Abstraksi yaitu pemilihan beberapa sifat yang dari setiap anggota dalam suatu himpunan dan pemilihannya berdasarkan kebutuhan. Sedangkan, idealisasi yaitu menganggap representasi dari sesuatu sebagai sesuatu yang ideal.

Sistem aksiomatik adalah suatu sistem yang memuat himpunan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan. Keberadaan model dapat membuktikan konsistensi suatu sistem aksiomatik. Suatu sistem aksiomatik dikatakan konsisten jika dari aksioma-aksioma yang ada tidak mungkin menghasilkan teorema-teorema yang kontradiksi dengan aksioma-aksioma dengan teorema-teorema yang telah dibuktikan sebelumnya. Model matematika juga dapat digunakan untuk menunjukkan kemandirian sistem aksiomatik. Model matematika yang valid digunakan untuk setiap aksioma yang ada pada sistem adalah saling bebas atau independen. Artinya, setiap aksioma bukanlah turunan (deduksi) dari dari aksioma-aksioma yang lain. Dua model dikatakan isomorfis jika berkorespondensi satu-ke-satu. Sistem aksiomatik yang setiap modelnya isomorfis terhadap model yang lain disebut kategorial, dan sifat kategorial ini memastikan kelengkapan suatu sistem aksiomatik.

Model dibagi menjadi dua jenis yaitu model konkret dan model abstrak.

a.       Model konkret yaitu objek yang bentuknya mirip dengan yang sebenarnya dan berhubungan dengan dunia nyata.

b.      Model abstrak yaitu model yang didasarkan pada sistem aksiomatik lainnya.

Hilbert (1862-1943) menjelaskan matematika formal didasarkan pada logika formal; mengurangi hubungan matematis untuk pertanyaan keanggotaan himpunan; objek primitif hanya terdefinisi dalam matematika formal adalah himpunan kosong yang berisi apa-apa. Ada klaim bahwa hampir setiap abstraksi matematika yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi tidak ada di luar yang aksioma.

Pada tahun 1931, Godel menentang Progam Hilbert dengan teorema ketidaklengkapannya. Kurt Godel membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan tersebut adalah mungkin untuk setiap sistem logika yang terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah matematika yang hebat yang bekerja pada setiap hari; ia menunjukkan bahwa jika kita asumsikan bahwa sistem matematika konsisten, maka kita bisa menunjukkan bahwa itu tidak lengkap.

B.                Ontologi dan Epistemologi Matematika Model

1.      Ontologi Matematika Model

Kata ontologi berasal dari bahasa Yunani, yaitu On = being, dan Logos = logic. Jadi, ontologi adalah The Theory of Being Qua Being (teori tentang keberadaan sebagai keberadaan). (Amsal Bakhtiar, 2007:132). Sedangkan Jujun S. Suriasamantri mengatakan bahwa ontologi membahas apa yang ingin kita ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, atau dengan perkataan lain suatu pengkajian mengenai yang “ada”. (Jujun S. Suriasumantri, 1985:5). Menurut Marsigit (2015: 95), Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dan kenyataan matematika, yaitu segala matematika yang mengada. Dalam kaitanya dengan matematika pendekatan ontologis matematika adalah dengan mencari pengertian menurut akar dan dasar terdalam dari kenyataan matematika. Ontologi matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika yang bersifat kongkrit. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya definisi, aksioma, dan teorema-teorema.

2.      Epistemologi Matematika Model

Epistemologi  adalah  nama  lain  dari  logika  material  atau  logika  mayor   yang membahas  dari  isi  pikiran  manusia,  yaitu  pengetahuan. Epistemologi  merupakan  studi tentang pengetahuan, bagaimana mengetahui benda-benda. Pengetahuan ini berusaha menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti: cara manusia memperoleh dan menangkap pengetahuan dan jenis-jenis pengetahuan. Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi yang memadai matematika harus menjelaskan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka, tentu saja, bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran bagi proposisi matematika tetapi bukti bergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita bisa tahu kebenaran dari aksioma tetap. Kebenaran/pengetahuan  tersebut diperoleh  manusia  melalui  akal  dan panca  indera  dengan berbagai metode,  diantaranya; metode induktif, metode deduktif, metode positivisme, metode kontemplatis dan  metodedialektis.

Epistemologi matematika yaitu ilmu filsafat untuk mempelajari keaslian atau validitas dari sifat-sifat matematika. Misalnya seperti kebenaran sebuah teorema. Untuk mengetahui benar atau tidaknya sebuah teorema, maka diperlukan adanya pembuktian. Sehingga pembuktian teorema dalam matematika ini merupakan contoh dari epistemologi matematika.

C.                 David Hilbert

Ahli matematika besar Jerman, David Hilbert (1862-1943) berpandangan bahwa sifat alami matematika adalah sebagai sistem lambang yang formal. Matematika berhubungan dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Simbol-simbol dianggap mewakili berbagai sasaran yang menjadi objek matematika. Bilangan misalakan dipandang sebagai sifat-sifat struktural yang paling sederhana. Dengan simbol abstrak yang dilepaskan dari suatu sifat tertentu dan hanya bentuknya saja, aliran ini berusaha menyelediki berbagai sistem matematika. Menurut pandangan aliran ini matematika merupakan ilmu tentang sistem-sistem formal.

Hilbert menganjurkan program ambisius untuk merumuskan sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika ke kalkulus lanjut; mimpinya adalah menyusun metode-metode penalaran matematis dan menempatkannya dalam satu kerangka kerja. Secara khusus terangkum dalam lima pernyataan berikut ini:

(1)   Perumusan semua matematika; dengan kata lain semua pernyataan matematis harus ditulis dalam bahasa formal yang tepat, dan dimanipulasi sesuai dengan aturan yang jelas.

(2)   Kelengkapan: bukti bahwa semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formalisme.

(3)   Konsistensi: bukti bahwa tidak ada kontradiksi yang dapat diperoleh dalam formalisme matematika. Bukti konsistensi ini sebaiknya hanya menggunakan alasan "finitistik" tentang objek matematika terbatas.

(4)   Konservasi: bukti bahwa segala hasil tentang "objek nyata" yang diperoleh dengan menggunakan alasan tentang "objek ideal" (seperti set yang tidak terhitung) dapat dibuktikan tanpa menggunakan objek ideal.

(5)   Decidability: harus ada algoritma untuk memutuskan kebenaran atau kesalahan pernyataan matematika apa pun.

Sejarah Bilangan

Sejarah matematika tidak lepas dari perkembangan bilangan. Operasi hitung mulai dipakai sejak masa 2000 sebelum Masehi di Mesir dan Babilonia. Penulisan sistem numerik dimulai dengan sistem hieroglipik di Mesir yang lebih menyederhanakan dari cara membuat turus-turus. Saat ini digunakan sistem desimal berbasis 10. Banyak topik yang berkembang terkait bilangan. Salah satu contoh topik yang digunakan dalam pembelajaran di SMP barisan dan deret, yaitu aritmetik dan geometri.

 Barisan matematika adalah barisan bilangan yang perbedaan tiap sukunya konstan. Misalkan barisan 3, 5, 7, 9, 11, 13, … yang bedanya 2.  Rumus suku ke-n dari barisan aritmetik adalah 

dimana  d adalah beda dan a1 adalah suku pertama. 

Deret dari barisan aritmetika adalah jumlah terhingga dari suku-suku barisan.

Rumus deret aritmetika dinyatakan berikut.

Dengan menjumlahkan keduanya diperoleh,

Sehingga didapat:

Bentuk lain adalah :  :

Metode ini ditemukan oleh Aryabhata, pada 499 AD seorang matematikawan dan astronomer dari India dalam bukunya Aryabhatiya.

Barisan geometri terdapat pada buku VIII dan IX dari Euclid, yaitu Element.  Pada Elements, buku IX, barisan geometri adalah 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (atau dalam sistem numerik biner 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … ).  Pada buku IX, proposisi 36 membuktikan bahwa jumlah suku ke-n dari bilangan-bilangan prima adalah bilangan sempurna. Sebagai contoh 5 suku pertama dari deret  1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, adalah bilangan prima.

Secara singkat pemikiran tentang barisan maupun deret geometri sebenarnya sejak pada masa Yunani dan saat ini kembali diajarkan lagi.

D.                Kurt Godel

1.                 Teorema Godel

Teorema ketidaklengkapan Gödel, yang diterbitkan pada tahun 1931, menunjukkan bahwa program Hilbert tidak dapat dicapai untuk bidang-bidang utama matematika. Godel theorem ada dua yaitu:

a.       Teorema Ketaklengkapan Pertama

Setiap teori yang dihasilkan secara efektif yang mampu menyatakan aritmetika elementer tidak dapat sama-sama konsisten dan lengkap atau komplet. Khususnya, untuk setiap teori formal yang secara efektif dihasilkan dan yang konsisten, yang membuktikan kebenaran aritmetika dasar tertentu, ada suatu pernyataan aritmetika yang benar, tetapi tidak dapat dibuktikan dalam teori ini.

b.      Teorema Ketaklengkapan Kedua

Untuk setiap teori T yang dihasilkan formal secara efektif memuat kebenaran aritmetika dasar dan juga kebenaran tertentuk mengenai provabilitas formal, jika T memuat suatu pernyataan mengenai konsistensinya sendiri,maka T inkonsisten.

Dalam teorema pertamanya, Gödel menunjukkan bahwa sistem apa pun yang konsisten dengan seperangkat aksioma yang dapat dikomputasi yang mampu mengekspresikan aritmatika tidak akan pernah lengkap: adalah mungkin untuk membangun pernyataan yang dapat terbukti benar, tetapi itu tidak dapat diturunkan dari aturan formal sistem. Dalam teorema keduanya, ia menunjukkan bahwa sistem semacam itu tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga tentu saja tidak dapat digunakan untuk membuktikan konsistensi sesuatu yang lebih kuat dengan pasti.

Sebuah teori seperti aritmatika Peano bahkan tidak dapat membuktikan konsistensinya sendiri, sehingga subset "finitistik" yang terbatas tentu saja tidak dapat membuktikan konsistensi teori yang lebih kuat seperti teori himpunan.

2.                 Bilangan Godel

 Godel pertama kali memperkenalkan konsep Numbering.

Diberikan S adalah himpunan yang terbatas atau dapat dihitung. Berdasarkan numbering dari S, berarti sembarang pemetaan injektif  yang gambarnya dapat ditentukan. Kita memanggil  nomor  dari . Kita memanggil dua penomoran N dan M dari himpunan yang ekuivalen jika fungsi parsial  dan dari  ke bersifat rekursif parsial. Fungsi-fungsi ini secara otomatis dapat dihitung (tidak hanya semi-dapat dihitung), karena domain definisinya dapat ditentukan. 

Dalam rangka untuk membuat hubungan antara implikasi logika murni dan aritmatika (Beth, 1962), dikaitkan dengan setiap formula atau angka natural  g(U), yang disebut Godel number dan ditentukan oleh berikut ini:

(G1) Godel number  dari atoms A, B, C, ... masing-masing, 

(G2)  

Pengenalan Godel number  memungkinkan kita untuk menyatakan sebagai berikut aritmatika dengan ketentuan (F3") dalam bagian 1: Angka natural g adalah Godel number  dari formula implikasi logika murni jika dan hanya jika ada urutan bilangan terbatas g_l, g₂, ..., g_k seperti itu, untuk setiap j (1 <j <k), lebih baik adalah angka natural h sehingga g_j = ke 7 atau dapat ditemukan bilangan natural m dan n

(l<m, n <j) sehingga g_j =  , sedangkan g_k = g. 

Sistem formal paling komprehensif yang telah ditetapkan sampai sekarang adalah sistem Principia Mathematica (PM) dan sistem aksioma [Zermelo-Frankel] teori set ... Kedua sistem ini sangat komprehensif sehingga di dalamnya semua metode pembuktian saat ini digunakan dalam matematika diformalkan, yaitu direduksi menjadi beberapa aksioma dan aturan inferensi.

(1)    Feferman, seorang sarjana terkemuka, merangkum hasil Gödel tahun 1931 sebagai berikut:

(2)         ‘Jika S adalah sistem formal sehingga:

(i) bahasa S berisi bahasa aritmatika,

(ii) S termasuk PA [Aritmetika Peano], dan

(iii) S konsisteN

kemudian ada kalimat aritmatika A yang benar tetapi tidak dapat dibuktikan dalam S [teorema ketidaklengkapan pertama] ... [dan] konsistensi S tidak dapat dibuktikan dalam S [teorema ketidaklengkapan kedua]. '

E.                 Leibnis

 

Kalkulus  (Bahasa  Latin:  calculus,  artinya  "batu  kecil",  untuk  menghitung)  adalah  cabang  ilmu  matematika  yang mencakup  limit,  turunan,  integral,  dan  deret  tak terhingga.  Kalkulus  adalah  ilmu  mengenai  perubahan,  sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema  dasar  kalkulus.  Pelajaran  kalkulus  adalah  pintu  gerbang  menuju  pelajaran  matematika  lainnya  yang  lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

 

            Perkembangan Kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.

1.      Periode  zaman  kuno

Beberapa  pemikiran  tentang  kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis.  Perhitungan  volume  dan  luas  yang  merupakan  fungsiutama  dari  kalkulus  integral  bisa  ditelusuri  kembali  pada  Papirus Moskwa  Mesir  (1800  SM).  Pada  papirus  tersebut,  orang  Mesir telah    mampu    menghitung    volume    piramida    terpancung. Archimedes   mengembangkan   pemikiran   ini   lebih   jauh   dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

2.      Periode zaman   pertengahan

Matematikawan   India,   Aryabhata, menggunakan  konsep  kecil  tak  terhingga  pada  tahun  499  dan mengekspresikan   masalah   astronomi   dalam   bentuk   persamaan diferensial  dasar. Persamaan  ini  kemudian  mengantar  Bhāskara II  pada  abad  ke-12  untuk  mengembangkan  bentuk  awal  turunan yang  mewakili  perubahan  yang  sangat  kecil  tak terhingga  dan menjelaskan  bentuk  awal  dari  "Teorema  Rolle". Sekitar  tahun1000,  matematikawan  Irak  Ibn  al-Haytham  (Alhazen)  menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika,  dia  mengembangkan  suatu  metode  untuk  menurunkan  rumus  umum  dari  hasil  pangkat  integral  yang sangat  penting  terhadap  perkembangan  kalkulus  integral.

3.      Periode zaman modern

Penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa.  Di  Eropa,  beberapa  matematikawan  seperti  John  Wallis  dan  Isaac  Barrow  memberikan  terobosan  dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Leibnis dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua   orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam  waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika   sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Leibniz adalah yang pertama kali menggunakan tanda integral modern, menggunakan huruf S  yang  diambil  dari  kata  Latin  summa  seperti dan .  Dalam makalahnya ia memperkenalkan  sebagaiinterval terhingga sebarang dan   kemudian mendefinisikan  melalui proporsi  subtangen. Berbagai tauran   diferensial yang elementer yang kemudian dipelajari oleh siswa diturunkan oleh Libniz.  Aturan untuk menemukan turunan ke dari perkalian fungsi yang dikenal dengan Aturan Leibniz ( Eves, 1964).

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler. Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar  dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

, ataupun

Lambang di atas hingga sekarang digunakan untuk menyimbolkan turunan.

F.                 Tarski

Teorema undefinability Tarski, dinyatakan dan dibuktikan oleh Alfred Tarski pada tahun 1936, merupakan hasil pembatasan penting dalam logika matematika, dasar matematika, dan dalam semantik formal. Secara informal, teorema menyatakan bahwa kebenaran aritmatika tidak dapat didefinisikan dalam aritmatika. Teorema berlaku lebih umum untuk sistem formal yang cukup kuat, menunjukkan bahwa kebenaran dalam model standar sistem tidak dapat didefinisikan dalam sistem.

Pada tahun 1931, Kurt Gödel menerbitkan teorema ketidaklengkapan, yang ia buktikan sebagian dengan menunjukkan bagaimana merepresentasikan sintaksis logika formal dalam aritmatika orde pertama. Setiap ungkapan bahasa formal aritmatika diberi nomor berbeda. Prosedur ini dikenal dengan berbagai penomoran, pengodean dan, lebih umum, sebagai aritmetisasi. Secara khusus, berbagai himpunan ekspresi dikodekan sebagai himpunan bilangan. Ternyata untuk berbagai sifat sintaksis (seperti menjadi rumus, menjadi kalimat, dll.), himpunan ini dapat dihitung. Selain itu, setiap himpunan angka yang dapat dihitung dapat didefinisikan oleh beberapa rumus aritmatika. Misalnya, ada rumus dalam bahasa aritmatika yang mendefinisikan sekumpulan kode untuk kalimat aritmatika, dan untuk kalimat aritmatika yang dapat dibuktikan.

Teorema undefinability Tarski menunjukkan bahwa pengkodean ini tidak dapat dilakukan untuk konsep semantik seperti kebenaran. Ini menunjukkan bahwa tidak ada bahasa yang ditafsirkan cukup kaya dapat mewakili semantik sendiri. Yang wajar adalah bahwa setiap bahasa meta yang mampu mengekspresikan semantik dari beberapa bahasa objek harus memiliki kekuatan ekspresif yang melebihi dari bahasa objek. Bahasa meta mencakup gagasan primitif, aksioma, dan aturan yang tidak ada dari bahasa objek, sehingga ada teorema yang dapat dibuktikan dalam bahasa meta yang tidak dapat dibuktikan dalam bahasa objek.

G.                Alan Turing

Tujuh puluh tahun yang lalu Alan Turing menerbitkan artikelnya yang terkenal, "Mesin Komputasi dan Kecerdasan" dalam jurnal Mind. Memang, sebagian besar perdebatan dalam filsafat kecerdasan buatan selama tujuh puluh tahun terakhir menyangkut masalah yang diangkat dan dibahas oleh Turing. Turing tidak hanya dalam mengembangkan teori komputabilitas tetapi juga dalam memahami dampaknya, baik secara praktis maupun filosofis, yang dimiliki mesin komputasi. Turing percaya bahwa komputer jika dirancang dan dididik dengan benar, dapat menunjukkan perilaku cerdas, bahkan perilaku yang tidak dapat dibedakan dari perilaku cerdas manusia. Visinya tentang kemungkinan kecerdasan mesin sangat menginspirasi dan sangat kontroversial.

Eksperimen pikiran yang Turing ciptakan dikenal sebagai Turing Machine (TM). TM terdiri dari:

1. pita tak terbatas (ingatan tak terbatasnya) dipecah menjadi sel-sel yang mengandung bahasa (dari alfabet terbatas), misalnya kode biner, ke dalam mesin;
2. kepala baca / tulis yang membaca / menulis simbol alfabet terbatas oleh simbol, dan yang ada di sejumlah negara terbatas;
3. seperangkat aturan transisi dari satu negara ke negara lain (program).

Turing menerapkan TM ini pada apa yang sekarang dikenal sebagai 'Masalah Pemutusan' (Turing menggunakan terminologi yang berbeda). Masalah pada dasarnya mudah dipahami. Kami tahu beberapa perhitungan berhenti: mis. berapakah angka genap pertama setelah 10? Jawaban = 12. Kami tahu beberapa perhitungan tidak berhenti: mis. temukan angka ganjil yang merupakan jumlah dari dua angka genap. Beberapa perhitungan adalah sebuah misteri. Misalnya, Teorema Terakhir Fermat dapat disajikan sebagai: find  untuk . Selama berabad-abad kami tidak tahu apakah ini akan selesai atau tidak. Sekarang Andrew Wiles baru-baru ini menyelesaikannya, kita tahu bahwa perhitungan ini tidak akan pernah selesai.

Turing pertama-tama mendefinisikan secara ketat suatu kelas fungsi (fungsi yang dapat dihitung) yang berhubungan dengan fungsi yang dapat dihitung oleh manusia. Ini sekarang sering disebut sebagai Tesis Gereja-Turing: TM dapat melakukan perhitungan apa pun yang komputer manusia dapat lakukan, atau 'kelas matematika "fungsi yang dapat dihitung" sesuai persis dengan kelas fungsi yang secara alami kita anggap dapat dihitung. '(Nielsen). Dalam tesis PhD-nya tiga tahun kemudian, Turing mendefinisikan idenya sebagai: 'Kita akan menggunakan ungkapan' fungsi yang dapat dihitung 'untuk berarti fungsi yang dapat dihitung dengan mesin.' Turing kemudian menunjukkan bahwa tidak ada fungsi dalam kelas fungsi yang dapat menyelesaikan Entscheidungs problem.

Dalam hal konsep dasar numbering yang dijelaskan di bagian sebelumnya, dapat dirangkum beberapa pengetahuan tentang makalah Turing:

1)      Rangkaian semua program komputer dapat didenumerasikan.

2)      Himpunan semua real yang dapat dihitung dapat didenumerasikan.

3)      Himpunan semua real yang tidak dapat dihitung tidak dapat dinomori.

4)      Real kebanyakan tidak dapat dihitung, jauh lebih banyak dari yang dapat dihitung.

5)      Setiap nomor yang tidak dapat dihitung adalah transendental. 

 

H.           Transformasi dalam Model Matematika

Transformasi adalah suatu perubahan. Transformasi dibagi menjadi dua yaitu transformasi yang “ada” (dalam pikiran atau luar pikiran) dan yang “mungkin ada”.Segalanya yang ada di dunia akan selalu berubah menurut ruang dan waktunya. Setiap orang dapat melihat suatu hal dengan persepsi berbeda berdasarkan sudut pandang masing-masing. Transformasi terjadi sebatas pada potensi yang dimiliki oleh masing-masing bagian, dan setiap bagian terdiri dari dimensi yang bertingkat dan terbatas pada ruang dan waktu. Contohnya,dunia pikiran kita tidak dapat sepenuhnya diungkapkan dalam dunia bahasa atau dunia kata-kata. Namun,hal ini sudah terjadi suatu bentuk transformasi dari dunia pikiran ke dalam dunia kata atau bahasa. Transformasi yang merupakan suatu perubahan dapat membawa suatu hal menuju bentuk atau model tertentu, terutama dalam bentuk simbol yang dapat disebut transformasi matematika. Transformasi geometri terdiri dari translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

a)      Translasi: perpindahan/pergeseran titik pada bangun geometri dalam jarak dan arah yang sama

b)      Refleksi: proses mencerminkan setiap titik pada bangun geometri terhadap sebuah garis tertentu.

c)      Rotasi: proses memutar bangun geometri terhadap titik tertentu

d)     Dilatasi: mengubah ukuran suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun

Berikut ini diberikan contoh model abstrak matematika atau yang biasa disebut matematika formal pada tiga ruang lingkup yaitu geometri, bilangan dan kalkulus.

1.      Geometri

Geometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir  secara  geometris  dari  satu  bentuk  ke bentuk  yang  lain,  ditentukan  dalam  hampir  setiap  kebudayaan  manusia. Subjek  seperti  yang  kita  kenal,muncul  lebih  dari  4000  tahun  yang  lalu  di Mesopotamia, Mesir, India, dan  Cina. Salah  satu  yang   terkenal berasal dari Mesir. Karena Sungai Nil setiap tahun membanjiri tanah yang sangat luas dan garis   kepemilikanterhapuskan.Sehingga   survei  dan  pengukuran  sangat penting  bagi  orang  Mesir  kuno.  Ini  merupakan  kepentingan  praktis  yang mungkin  merupakan  pemicu  untuk  munculnya  ilmu  pengetahuan  geometri. Geometri   Mesir   sebagian   besar   merupakan   ilmu   empiris   (berdasarkan percobaan),  yang  terdiri  dari  prosedur  ataupun  aturan  yang  tidak  jelas  asal usulnya,  dan  diperoleh  dari  percobaan  dan  pengamatan.  Sebagian  besar rumus merupakan perkiraan yang diperoleh hanya sebagai kepentingan untuk pekerjaan,  tetapi  cukup  tepat  dalam  memberikan  jawaban  untuk  bekerja. Tetapi  orang  Mesir  kuno  juga  menyadari  prinsip-prinsip  yang  lebih  umum, seperti kasus khusus dari Teorema Pythagoras dan formula untuk volume.

The Mesopotamians kuno, atau Babel, tampaknya  memiliki pemahaman yang  lebih  maju tentang  geometri.  Mereka  tahu  Teorema Pythagoras jauh sebelum Pythagoras.  Mereka  menemukan  beberapa  hal  berbasis  bukti  dari teorema, dan tampaknya tahu sebuah metode umum yang menghasilkan suatu segitiga yang panjang sisinya tiga kali lipat dan tetap siku-siku. Di India, teks kuno   menerapkan   Teorema Pythagoras untuk   masalah   geometrik   yang berhubungan  dengan  desain  struktur.  Tampak  bahwa  Teorema Pythagoras juga  ditemukan  di  Cina  pada  sekitar  waktu  yang  sama.  Sekitar  2500  tahun yang  lalu  ada  perubahan  besar  dalam  cara  geometri  dipraktekkan  yaitu matematikawan  Yunani  memperkenalkan  abstraksi,  deduksi  logis,  dan  bukti ke   geometri.   Mereka   bersikeras  bahwa   hasil   geometri   didasarkan   pada penalaran  logis  dari  prinsip-prinsip  pertama.  Dalam  teori  ini  membuat  hasil geometri  yang  tepat,  tertentu,  dan  tak  terbantahkan,  bukan  hanya  mungkin atau perkiraan. Hal ini juga berakibat geometri keluar dari dunia pengalaman sehari-hari  dan  membuatnya  subjek    studi  dengan  objek  pembicaraan  yang abstrak.   Proses   memperkenalkan   logikake   geometri   tampaknya   mulai dengan  Thales  dari  Miletus  sekitar  600  SM  dan  sampai  pada  puncaknya dalam  karya  Euclid  dari  Alexandria  padakira-kira  300  SM.  Euclid  adalah orang   yang   paling   terkenal   dari   geometri   Yunani   dan   namanya   masih universal   terkait   dengan   geometri   yang   dipelajari   di   sekolah   hari   ini. Sebagian  besar  ide-ide  yang  termasuk  dalam  apa  yang  kita  sebut  sebagai “Geometri  Euclid”  mungkin  tidak  berasal  dariEuclid   dirinya   sendiri, melainkan  kontribusi  Euclid  adalah  untuk  mengatur  dan  menyajikan  hasil geometri   Yunani  dengan  cara   yang  logis  dan   koheren.  Ia   menerbitkan hasilnya dalam serangkaian tiga belas buku yang dikenal sebagai Elemen.

Elemen   Euclid   disusun   menurut   aturan   logika   yang   ketat.   Euclid memulai  setiap  buku  dengan  daftar  definisi  dari  istilah  teknis  yang  akan digunakan  dalam  buku  tersebut.  Dalam  Buku  I  ia  menyatakan  adanya  lima “dalil  atau  aksioma”  dan  lima  “notasi  biasa”.  Ini  adalah  asumsi  yang dimaksudkan   untuk   dapat   diterima   tanpa   bukti.   Baik   dalil-dalil   dan pengertian  umum  adalah  laporan  dasar  yang  kebenarannya  harus  jelas  bagi setiap  orang  yang  masuk  akal.  Inilah  yang  merupakan  titik  awal  untuk geometri.   Euclid   mengakui   bahwa   tidak   mungkin   untuk   membuktikan semuanya  bahwa  ia  harus  memulai  suatu  tempat,  tapi  ia  berusaha  untuk menjadi jelas tentang apa yang asumsinya itu.

Sebagian besar dari postulat Euclid adalah pernyataan sederhana tentang fakta-fakta  intuitif  jelas  dan  tak  terbantahkan  tentang  bidang  atau  ruang. Contohnya, aksioma kedua yang tentang menggambar garis lurus melalui dua titik  yang  diberikan.  Postulat  atau  Aksioma  II  mengatakan  bahwa  ruas  garis lurus  dapat  diperpanjang  ke  segmen   yang  lebih  panjang.  Postulat  atau Aksioma  III  mengatakan  tentang  kemungkinan  untuk  membangun  lingkaran dengan  pusat  diberikan  dan  jari-jari  diketahui.  Secara  tradisi  ketiga  postulat pertama  telah dikaitkan dengan alat-alat  yang digunakan  untuk  menggambar benda-benda   tersebut      pada   selembar   kertas. Kedua postulatpertama mengatakan  bahwa ada dua  kegunaan  yang  berbeda  dari  penggaris  yang diperbolehkan,yaitu penggaris dapat digunakan untuk menggambarpotongan garis  melalui  dua  titik  atau  untuk  memperpanjang  potongan  garis.  Postulat ketiga   mengatakan   bahwa   kompas   dapat   digunakan   untuk   membangun lingkaran dengan pusat   diberikan   dan   jari-jari   juga   diketahui.   Dengan demikian ketiga postulat pertama hanya memungkinkan penggaris dan jangka dapat digunakan untuk mengonstruksi geometri.

Geometri Euclid merupakan geometri yang paling dikenal. Geometri ini dikembangkan oleh Euclides melalui karya "The Elements"yang terdiri dari 13 buku. Buku pertama memuat 5 definisi, 5 postulat, 5 aksioma, dan 48 teorema (Hadiwidjojo, 1986: 19). Geometri Euclid didasarkan pada lima asumsi dasar yang disebut aksioma atau postulat (Greenberg, 1994:14). Euclid membedakan antara aksioma yang berlaku umum dan postulat yang berlaku untuk sains tertentu. Postulat atau aksioma digunakan sebagai dasar penentuan objek dan konsep dari geometri. Berikut ini adalah lima asumsi dasar yang disebut aksioma atau postulat Euclid.

2.      Bilangan

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia  sepanjang  sungai  Tigris dan  Eufrat, bangsa Hindu  sepanjang  sungai  Indus  dan Gangga,  bangsa  Cina  sepanjang  sungai Huang  Ho dan Yang  Tze.  Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai  menjadi daerah pertanian  untuk itu  diperlukan  pengetahuan  praktis,  yaitu  pengetahuan  teknik  dan  matematika  bersama-sama. Sejarah menunjukkan bahwa  permulaan  Matematika  berasal  dari  bangsa  yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai  kegiatan  perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak.  Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

Berikut ini akan dibahas kontribusi para ahli matematika yang mengembangkan sistem bilangan:

a.       Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf  Yunani  yang  paling  dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.Salah   satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan  bahwa  kuadrat  hipotenusa  dari  suatu  segitiga  siku-siku  adalah  sama  dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini  telah  banyak  diketahui  sebelum  lahirnya  Pythagoras,  namun  teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang  pertama  kali  membuktikan  pengamatan  ini  secara matematis.

b.      Jamshid Al-Kashi (1380 M)

Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayahIran  Tengah.  Selama  hidupnya,  al-Kashi  telah  menyumbangkan  dan  mewariskan  sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal  yang  diciptakan  oleh  al-Kashi.  Pecahan  desimal  ini  merupakan  salah  satu  karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

c.       Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan  nama  Alhazen.  Al-Haytam  adalah  orang  pertama  yang  mengklasifikasikan  semua bilangan  sempurna  yang  genap,  yaitu  bilangan  yang merupakan  jumlah  dari  pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytammembuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

  d.      Pierre de Fermat

Karya matematika  yang  ditinggalkan  oleh  Fermat  hanya  satu  buah  pembuktian. Fermat  membuktikan  bahwa  luas  daerah  segitiga  siku-siku  dengan  sisi  bilangan  bulat tidak  pernah  merupakan  bilangan  kuadrat.  Jelas  hal  ini  mengatakan  bahwa  tidak  ada segitiga  siku-siku  dengan  sisi  rasional  yang  mempunyai  luas  yang  sama  dengan  suatu bujursangkar  dengan  sisi  rasional.  Dalam  simbol,  tidak  terdapat  bilangan  bulat  x,  y,  z dengan  sehingga  bilangan  kuadrat.  Dari  sini  mudah  untuk  mendeduksi  kasus  n  =  4, Teorema   Fermat.   Penting   untuk   diamati   bahwa   dalam   tahap   ini   yang   tersisa   dari pembuktian  Fermat  Last  Theorem  adalah  membuktikan  untuk  kasus  n  bilangan  prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x,y, z dengan maka jika n = pq.

e.       Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)

Lenardo Pisano  Bogolo,  juga dikenal  dengan nama  Leonardo  da Pisa atau Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, atau yang paling sering disebut dengan nama Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali yang dikenal sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkansistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa(algorisma).  Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya. Deret Fibbonacci yaitu: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya.

3.      Kalkulus

Salah satu submateri pada ruang lingkup kalkulus yaitu integral. Penggunaan integral tentu untuk menghitung volume benda putar. Benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis tertentu (sumbu rotasi).  Cara memutar daerah tersebut bisa dengan sumbu x sebagai poros, sumbu y sebagai poros atau sebuah persamaan garis yang sebagai poros. Volume atau isi benda putar ini dapat dirumuskan dengan menggunakan proses limit jumlah.

Ahli-ahli yang berkontribusi pada perkembangan kalkulus yaitu Newton, Wallis, Barrow, dan Leibniz.

a.       Isaac Newton

Penemuan    Newton    tentang    matematika    yang    penting    antara    lain  generalisai teorema binomial dalam bentuk:

dengan  A  merepresentasikan  sukupertama  yaitu  ,  B  merepresentasikan  suku kedua yaitu , C merepresentasikan suku ketiga dan seterusnya.

Matematika  lain  yang  lebih  penting  dikemukakan  Newton  adalah  metode fluksion  yang  ia  sampaikan  kepada  Barrow  tahun  1669.  Metode  fluksion  telah ditulis pda tahun 1671, tetapi hingga tahun 1736 maasih belum diterbitkan. Dalam buku   itu   Newton   memandang   suatu   kurva   sebagaimana   gerakan   titik   yang kontinu.  Berdasarkan  hal  ini  absis  dan  ordinat  membentuk  titik,  secara  umum sebagai  perubahan  besaran.  Suatu  perubahan  besaran  disebut  fluent  dan  rata-rata perubahan itu disebut fluxion dari fluent. Jika suatu fluent seperti ordinat dari titik mengahsilkan  suatu  kurva  yang  direpresentasikan  dengan  ,  maka  fluxion  dari fluent ditulis dengan &. Dalam notasi modern notasi % ini ekivalen dengan , dimana  t  representasi  dari  waktu.  Pada    memperkenalkan  ke  dalam  geometri, waktu  dapat  dipandang  sebagai  besaran  yang  bergerak,  misalnya  absis  yang bertambah  secara  tetap.  Konstatanta  rata-rata  pertambahan  dari    beberapa  fluent disebut   prinsipal   fluxion,   dan   fluxion   dari   sebarang   fluent   lainnya   dapat dibandingkan   dengan   prinsipal   fluxion   ini.   Fluxion dari % adalah  dan seterusnya untuk fluxion berderajat lebih tinggi (Eves, 1964).

b.      John Wallis

Wallis  salah  seorang  yang  pertama  kali  mendiskusikan  irisan  kerucut sebagai kurva.  Pada tahun 1656 ia menyusun sebuah buku Aritmetica infinitorum. Pada buku ini metode Decartes dan Cavalieri disistematisasikan dan diperluas dan sejumlah hasil yang luar biasa diperkenalkan dari kasus-kasus khusus., antara lain:

 dengan m adalah bilangan bulat positif, dan diklim berlaku untuk m   bilangan rasional atau negatif kecuali –1. Wallis pertama kali yang menjelaskan kelengkapan dari signifikansi nol, negatif, dan pangkat  pecahan  dan memperkenalkan simbol ketakhinggaan .

Wallis   berusaha   keras   untuk   mendifinisikan sebagai   ekspresi   luas daerah,    adalah  luas  daerah  sebuah  kuadran  dari  lingkaran  .  Luas tersebut ekivalen dengan hasil perhitungan , yang Willis tidak dapat menyelesaikannya  secara  langsung.  Ia  berturut-turut  menghitung , , , dan seterusnya hingga diperoleh barisan Selanjutnya ia meninjau masalah ini sebagai menemukan aturan untuk  dari barisan tersebut. Dengan melakukan interpolasi aturan tersebut untuk  diperoleh bahwa  atau .

Wallis mencapai hal lain dalam matematika. Ia salah satu matematisi yang dapat  mendekati  tantangan  Pascal  dalam  sikloid,  bahwa  diperoleh  suatu  frumus yang ekivalen  untuk panjang sepotong busur pada kurva. Wallis  memberikan  kontribusi  pada  perkembangan  kalkulus  dengan  meletakkan teori integrasi (Eves, 1964).

c.       Barrow

Barrow  memberikan  kontribusi  yang  sangat  penting  pada  perkembangan kalkulus yang terkait dengan teori diferensial. Dalam bukunya berjudul “Lectiones opticae et geometricae”,  ia  menemukan  pendekatan  yang  paling  mirip  dengan proses diferensial modern. Ia menggunakan  istilah yang sekarang disebut segitiga diferensial. Misalkan kita ingin menemukan gradien garis singgung di titik  dari kurva  yang  diberikan.  Misalkan    titik  lain  pada  kurva  tersebut  (Gambar  3).  Segitiga   hampir  sebangun  dengan  segitiga  PQR.  Segitiga  yang  kecil  dapat lebih kecil lagi tanpa batas . Misalkan  dan . Jika koordinat  maka koordinat . Dengan mensubsitusi nilai tersebut ke  dalam  persamaan  kurva  dan  mengabaikan  kuadrat  atau  pangkat  yang  lebih tinggi dari  e dan a diperoleh perbandingan e/a. Selanjutnya diperoleh  dan  gradien  garis  singgung  kurva  tersebut diperoleh.

Perbandingan  a/e  adalah  sama  dengan  dy/dx  sekarang  ini  dan  prosedur Barrow  yang  dipertanyakan  ini  secara  mudah  dapat  dibuat  secara  ketat  dengan menggunakan teori limit.

d.      Leibniz

Leibniz adalah yang pertama kali menggunakan tanda integral modern, menggunakan huruf S  yang  diambil  dari  kata  Latin  summa  seperti dan .  Dalam makalahnya ia memperkenalkan  sebagaiinterval terhingga sebarang dan   kemudian mendefinisikan  melalui proporsi  subtangen. Berbagai tauran   diferensial yang elementer yang kemudian dipelajari oleh siswa diturunkan oleh Libniz.  Aturan untuk menemukan turunan ke dari perkalian fungsi yang dikenal dengan Aturan Leibniz ( Eves, 1964).

REFERENSI

 

Alisah,  E. & Dharmawan, E. P. (2007). Filsafat  dunia  matematika  pengantar untuk memahami konsep-konsep matematika. Jakarta: Prestasi Pustaka.

Anglin, W. S. (1994). Mathematics: A Concise History and A Philosophy. New York: Springer Verlag.

Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Gie, The Liang. 1980. Filsafat Matematik. Yogyakarta : Yayasan Studi Ilmu dan Tekhnologi

Gie, The Liang. (1993). Filsafat Matematika Bagian Kedua. Yogyakarta: Yayasan Studi Ilmu dan Tekhnologi

Greenberg, Jay Marvin. (1980). Euclidean and Non-Euclidean Geometries. San Fransisco: W.H. Freeman and Company.

Hestenes,  D. (1987).  Toward a Modelling Theory of Physics Instruction. American  journal  of  physics,  55(5), 440-454.

Lovitt. (1991). Math Problems Solving and Modelling. Cengage South-Western: UM International Math Ser.

Manin. (1977). Godel’s Incompleteness Theorem. A Course in Mathematical Logic. 233-260

Marsigit. (2012). Mathematical Model.  online: powermathematics.blogspot.com.

Marsigit. (2010). Modul filsafat ilmu. Universitas Negeri Yogyakarta.

Marsigit, Ilham R., & Mareta M. M. (2014). Filsafat matematika. Yogyakarta: UNY press

https://powermathematics.blogspot.com/2012/11/mathematical-modeldocumented-by-marsigit.html

Suriasumantri , Jujun S. (1978).  Pengantar Ilmu dalam Perspektif. Jakarta : Gramedia.

Suriasumantri, Jujun S. (1985). Filsafat Ilmu Sebuah Pengantar Populer. Jakarta : Sinar Harapan

Suriasumantri, Jujun S. (1995). Ilmu Dalam Perspektif. Jakarta :Yayasan Obor Indonesia

Teuscher, Christof. (2004). Alan Turing: Life and Legacy of a Great Thinker. Ebook: Springer.

Widowati dan Sutimin. (2007). Buku Ajar Pemodelan Matematika. Jurusan Matematika Universitas Diponegoro.

Wirodikromo, Sartono. (2007). Matematika untuk SMA Kelas XII. Jakarta: Erlangga.

Zach, Richard. (2006). Hilbert's Program Then and Now. Philosophy of Logic. 5, 441-447, doi: 10.1016/B978-044451541-4/50014-2

Zarlis, Muhammad. (2008). Prinsip Pemodelan Matematika. Medan: Universitas Sumatera     Utara. Tidak diterbitkan.

 http://powermathematics.blogspot.com

             http://uny.academia.edu/MarsigitHrd